luogu1356数列的整数性题解--背包DP

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1356

分析

这道题一个很显然的想法就是$f[i][j]$表示能否利用前$i$个数进行运算得到$j$,但是这意味着你可能需要一个庞大的$bool$数组加上较大的时间复杂度.

于是根据同余的性质我们用$f[i][j]$表示能否利用前$i$个数进行运算得到膜$k$等于$j$的一个数,这样我们只需要一个大小为$f[max_n][max_k]$的数组以及$O(mnk)$的时间复杂度

然而有个问题,就是前面的运算可能得到一个负数,$C++$数组下标是不资瓷负数的,怎么办呢.

我们就用$f[i][j]$表示能否利用前$i$个数进行运算得到绝对值膜$k$等于$j$的一个数,这样就可以方便起见将所有数转化为非负数来处理

代码

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define ll long long 
#define ri register int 
using std::min;
using std::abs;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
    x=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=10005;
const int inf=0x7fffffff;
int f[maxn][105];
int a[maxn],cnt=0;
int n,k,T;
int main(){
    read(T);
    while(T--){
        read(n),read(k);
        memset(f,0,sizeof(f));
        cnt=0;
        for(ri i=1;i<=n;i++){
            read(a[i]);
            a[i]=abs(a[i]%k);
        }
        f[0][0]=1;
        for(ri i=1;i<=n;i++){
            for(ri j=0;j<=k;j++){
                f[i][j]|=f[i-1][(j+a[i])%k];
                f[i][j]|=f[i-1][abs(j-a[i])];
        //可能有人看到这会有疑惑,就是第一个数不是只可以加吗,这样子岂不是违反题意
        //其实以题目所给样例打比方,k=7,a[1]%k=3
        //显然f[3]=1,但是按照这代码f[4]也等于1,那是因为-k+3=-4，abs(-4)=4，这种情况在同余
        //意义下也需要考虑进去
            }
        }
        if(f[n][k]||f[n][0])puts("Divisible");
        else puts("Not divisible");
    }
    return 0;
}