题目链接
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777
分析
扩展$CRT$就是解决模数不互质的情况,说是扩展$CRT$,其实都是扩欧…
先来考虑两个方程的情况:$x \equiv a \mod b$和$x \equiv c \mod d$
由方程1得$x=tb+a$,代入方程2中得$tb+a \equiv c \mod d$，
把它变得更像方程:$t \times b+t’ \times d = c-a$
解得$t’$后回代即可
那么对于多个方程组,假设对于前$k$个方程组我们已经求出一个解$x$,记$M= \prod_{i=1}^k m_i$,那么显然$x+i \times M$是前$k$个方程的一个通解,因为$M \equiv 0 \mod m_i (i<=k)$
那么我们要求的就是一个整数$t$,使得$x+ t \times M \equiv b _ {k+1} \mod m _ {k+1}$
移项得$t \times M + t’ \times m _ {k+1} = b _ {k+1}- x$(这里的$x$其实是已知的)
运用扩欧算出$t$,更新$x=x+t \times M$,然后$M= M \times m _ {k+1}$
当然无解的情况也就是扩欧无解的情况,当$b _ {k+1}-x$不整除$gcd(M,m _ {k+1})$时无解
注意
题目要求要将$x$化为最小整数解
代码
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| #include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define ll __int128
#define ri register int
using std::min;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
ll b[maxn],m[maxn];
int n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1,y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
ll z=x;x=y,y=z-a/b*y;
return d;
}
void print(ll x){
if(!x) return;
if(x) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
ll ans=0;
int main(){
ll x,y,M,aa,bb,cc,d;
bool flag=0;
read(n);
for(ri i=1;i<=n;i++){
read(m[i]),read(b[i]);
}
M=m[1],ans=b[1];
for(ri i=2;i<=n;i++){
aa=M,bb=m[i],cc=(b[i]-ans%bb+bb)%bb;
x=0,y=0;
d=exgcd(aa,bb,x,y);
bb=bb/d;
if(cc%d){flag=1;break;}
x=((x*cc/d)%bb+bb)%bb;
ans+=M*x;M*=bb;
ans=(ans%M+M)%M;
}
if(flag)puts("-1");
else {
if(!ans)puts("0");
else {print(ans);puts("");}
}
return 0;
}
|