题目链接
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777
分析
扩展CRT就是解决模数不互质的情况,说是扩展CRT,其实都是扩欧…
先来考虑两个方程的情况:x≡amodb和x≡cmodd
由方程1得x=tb+a,代入方程2中得tb+a≡cmodd，
把它变得更像方程:t×b+t′×d=c−a
解得t′后回代即可
那么对于多个方程组,假设对于前k个方程组我们已经求出一个解x,记M=∏ki=1mi,那么显然x+i×M是前k个方程的一个通解,因为M≡0modmi(i<=k)
那么我们要求的就是一个整数t,使得x+t×M≡bk+1modmk+1
移项得t×M+t′×mk+1=bk+1−x(这里的x其实是已知的)
运用扩欧算出t,更新x=x+t×M,然后M=M×mk+1
当然无解的情况也就是扩欧无解的情况,当bk+1−x不整除gcd(M,mk+1)时无解
注意
题目要求要将x化为最小整数解
代码
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| #include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define ll __int128
#define ri register int
using std::min;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
ll b[maxn],m[maxn];
int n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1,y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
ll z=x;x=y,y=z-a/b*y;
return d;
}
void print(ll x){
if(!x) return;
if(x) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
ll ans=0;
int main(){
ll x,y,M,aa,bb,cc,d;
bool flag=0;
read(n);
for(ri i=1;i<=n;i++){
read(m[i]),read(b[i]);
}
M=m[1],ans=b[1];
for(ri i=2;i<=n;i++){
aa=M,bb=m[i],cc=(b[i]-ans%bb+bb)%bb;
x=0,y=0;
d=exgcd(aa,bb,x,y);
bb=bb/d;
if(cc%d){flag=1;break;}
x=((x*cc/d)%bb+bb)%bb;
ans+=M*x;M*=bb;
ans=(ans%M+M)%M;
}
if(flag)puts("-1");
else {
if(!ans)puts("0");
else {print(ans);puts("");}
}
return 0;
}
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